矩阵特征值特征向量对于矩阵A,若A为降秩矩阵,则至少有一个特征值为0.若R(A)=r,则A至少有n-r个特征值为0.若A为实对称矩阵,则A有且仅有n-r个特征值为0.为什么对于普通矩阵就是“至少”,而对于

Question

矩阵特征值特征向量
对于矩阵A,若A为降秩矩阵,则至少有一个特征值为0.若R(A)=r,则A至少有n-r个特征值为0.若A为实对称矩阵,则A有且仅有n-r个特征值为0.为什么对于普通矩阵就是“至少”,而对于实对称矩阵是“有且仅有”?
设λ为A的m重特征值,则λ所对应的线性无关的特征向量个数≤m,但若A为实对称矩阵则无关个数=m
同样,为什么对于普通矩阵有“小于等于”,而对于实对称矩阵是“等于”?

Answer 1

楼上乱回答,可以无视.
这两个问题其实是一回事,归根结底就是实对称矩阵的谱分解定理.
你去找本像样点的教材,把谱分解定理和一般方阵的Schur分解定理完全搞懂就行了.(建议从复矩阵开始看,实对称矩阵比Hermite矩阵要略微难一点,实Schur型也比复Schur型略难一点)