已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点且SM=x，从点M拉一绳子，围绕圆锥侧面转到点A．（1）求绳子的最短长度的平方f（x）；（2）求绳子最短时，定点S到绳子的最短距

Question

已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点且SM=x，从点M拉一绳子，围绕圆锥侧面转到点A．
（1）求绳子的最短长度的平方f（x）；
（2）求绳子最短时，定点S到绳子的最短距离；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

（1）∵底面半径r=1，母线长l=4，
∴侧面展开扇形的圆心角α=(r)/(l)×360°=90°
因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，最短距离为Rt△ASM中，斜边AM的长度
∵SM=x，SA=4
∴f（x）=AM²=x²+4²=x²+16
（2）由（1）可得：绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，设这个距离等于d，
则d=(SM•AS)/(AM)=(4x)/(√(x2+16))；
（3）∵f（x）=x²+16，其中0≤x≤4
∴当x=4时，f（x）的最大值等于32．