求助高数!设平面过点（3,1,-2）,且通过直线（x-4)/5=(y+3)/2=z/1,求该平面方程.知道答案，但不知道怎么做，求过程。

Question

求助高数!
设平面过点（3,1,-2）,且通过直线（x-4)/5=(y+3)/2=z/1,求该平面方程.
知道答案，但不知道怎么做，求过程。

Answer 1

方法一：利用共面的向量的混合积为0来求解.点A（3,1,-2）直线上的点B（4,-3,0）直线的方向向量n（5,2,1）,平面上任意一点C（x,y,z）可以知道,向量：AB,n,AC是共面向量,所以他们的混合积为0,据此得到一个三阶行列式,化简这个行列式就可以得到平面方程.
方法二：同上,利用n和AB的叉积求出平面的法向量,然后用平面的点向式求解.
方法三：利用平面簇的方法来求解.
过直线（x-4)/5=(y+3)/2=z/1的平面有无穷多个,我们要求的仅仅是其中的一个.
而平面簇的表达式可以如下：2x-8-5y-15+k(2z-y-3)=0,其中k是待求的系数.
我们此时仅需要把点（3,1,-2）带入上面的方程,求出相应的k值即可,这里k=-11/4
所以我们把k=-11/4带入上式,化简即可得到8x-9y-22z+59=0
其中需要注意,此平面簇并不包含平面2z-y-3=0,但是我们并没有做什么特别的说明,这是因为,如果在上面的方程中解不出相应的k值,那我们就能肯定平面2z-y-3就是我们需要的平面!（试想为什么这么说）
比如,点（3,1,-2）的坐标变成了（2,-1,0）,我们如果带进去,发现会出现-14=0,这说明此点并不在我们的平面簇上,但是由于我们给出的平面簇仅仅漏掉了平面2z-y-3=0,同时我们还知道：一条直线和其外一点,必定确定位移一个平面,
此时就很明显了：平面肯定存在,而且除了2z-y-3=0外其他平面均不满足,那么2z-y-3=0当然就是那个满足条件的平面了,至于是不是,方法很简单,把点的坐标带入验算即可!