以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（2，π4）．（1）求点C的直角坐标

Question

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C₁上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（√(2)，(π)/(4)）．
（1）求点C的直角坐标；
（2）若点P在曲线C₂：x²+y²=4上运动，求|PB|²+|PC|²的取值范围．

Answer 1

（1）∵点A的极坐标为（√(2)，(π)/(4)），
∴点A的直角坐标是（1，1），
由A，C关于y轴对称，则C（-1，1）；
（2）易得B（0，2），C（-1，1），
曲线C₁：ρ=2sinθ的直角坐标方程是：x²+（y-1）²=1，
设P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，
则|PB|²+|PC|²
=x²+（y-2）²+（x+1）²+（y-1）²
=2x²+2y²-6y+2x+6
=14+2（x-3y）
=14+2（2cosθ-6sinθ）
=14+4（cosθ-3sinθ）
=14+4√(10)cos（θ+φ），
故|PB|²+|PC|²∈[14-4√(10)，14+4√(10)]．