如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．(1)求证：A、C、T三

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1)求证：A、C、T三点共线；
(2)如果 ＝3 ，四边形APCB的面积最大值为 ，求此时椭圆的方程和P点坐标．

Answer 1

（1）见解析（2）椭圆方程为 ＋y ² ＝1.P点坐标为

(1)证明：设椭圆方程为 ＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T .
AT： ＝1②，BF： ＝1③，解得交点C ，代入①得
＝ ＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T
三点共线．
(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.
∵ ＝3 ，CE＝ b，EF＝ c，则C ，代入①得 ＝1，∴a ² ＝2c ² ，b ² ＝c ² .设P(x ₀ ，y ₀ )，则x ₀ ＋2 ＝2c ² .此时C ，AC＝ c，S _△ABC ＝ ·2c· ＝ c ² ，
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝ ，
S _△APC ＝ d·AC＝ · · c＝ ·c.只须求x ₀ ＋2y ₀ 的最大值，
(解法1)∵(x ₀ ＋2y ₀ ) ² ＝ ＋4 ＋2·2x ₀ y ₀ ≤ ＋4 ＋2( ＋ )＝3( ＋2 )＝6c ² ，∴x ₀ ＋2y ₀ ≤ c.当且仅当x ₀ ＝y ₀ ＝ c时，(x ₀ ＋2y ₀ ) _max ＝ c.
(解法2)令x ₀ ＋2y ₀ ＝t，代入 ＋2 ＝2c ² 得(t－2y ₀ ) ² ＋2 －2c ² ＝0，即6 －4ty ₀ ＋t ² －2c ² ＝0.Δ＝(－4t) ² －24(t ² －2c ² )≥0，得t≤ c.当t＝ c，代入原

作业帮用户 2017-09-23

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