已知抛物线y=ax^2-2x+c与它的对称轴相交与点A(1,-4),与y轴交于点C,与x轴正半轴交于点B.(1)求这条抛物线所对应函数关系式； (2)设直线AC交x轴于点D,P是线段AD上一动点(P点异于点A,D),过P作PE//x轴交

Question

已知抛物线y=ax^2-2x+c与它的对称轴相交与点A(1,-4),与y轴交于点C,与x轴正半轴交于点B.
(1)求这条抛物线所对应函数关系式；
(2)设直线AC交x轴于点D,P是线段AD上一动点(P点异于点A,D),过P作PE//x轴交直线AB于点E,过E作EF⊥x轴于点F,求当四边形OPEF的面积等于7/2时点P的坐标.

Answer 1

(1)因为抛物线只有顶点在对称轴上,因此A为抛物线顶点
所以对称轴为X=-(-2)/(2a)=1/a=1,所以a=1
设抛物线解析式y=x²-2x+c,代入点（1,-4）
1-2+c=-4,c=-3
抛物线解析式为y=x²-2x-3
（2）C为抛物线与Y轴交点,所以C(0,-3)
设直线AC解析式为y=kx-3
代入A点坐标：k-3=-4
k=-1
因此直线AC为y=-x-3
代入y=0,则x=-3,所以D(-3,0)
将y=0代入抛物线解析式：x²-2x-3=0
x1=-1,x2=3
因为B在X轴正半轴,所以B(3,0）
设直线AB解析式为y=kx+b,代入A、B坐标
k+b=-4①,3k+b=0②
k=2,b=-6
因此直线AB为y=2x-6
因为P在线段AD上,设P坐标（x,-x-3）
P不与A、D重合,所以-3＜x＜1
PE∥X轴,所以E纵坐标也为-x-3
设E横坐标为m,
2m-6=-x-3
2m=-x+3
m=-x/2+3/2
EF⊥X轴,所以F点横坐标也为-x/2+3/2
E必定在X轴下方,所以EF=-(-x-3)=x+3
E必定在P右边、F必定在原点右边
所以PE=-x/2+3/2-x=-3x/2+3/2
OF=-x/2+3/2
PE∥OF,四边形OPEF为梯形
S梯形OPEF=（PE+OF）×EF/2=(-2x²-3x+9)/2
(-2x²-3x+9)/2=7/2
-2x²-3x+9=7
2x²+3x-2=0
(2x-1)(x+2)=0
x1=1/2,x2=-2
将x=1/2代入直线AB表达式,y=-7/2
所以P1（1/2,-7/2）
将x=-2代入直线AB表达式,y=-1
所以P2（-2,-1）