如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

Question

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

Answer 1

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90° ，　　
∴四边形OBNM为矩形。　　
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90° 　
　∵，AO=BO=1，　　
∴AM=PM。　　
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，　　
∴OM=PN，　　
∵∠OPC=90° ，　　
∴∠OPM+CPN=90° ，　　
又∵∠OPM+∠POM=90° 　
　∴∠CPN=∠POM，　　
∴△OPM≌△PCN
　（2）∵AM=PM=APsin45° = m，　　
∴NC=PM= ，
∴BN=OM=PN=1- ；　　
∴BC=BN-NC=1- m- m= 1- m
　　
（3）△PBC可能为等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）　
　②当点C在第四象限，且PB=CB时，　　
有BN=PN=1- m，　　
∴BC=PB= PN= -m
∴NC=BN+BC=1- + -m，　
由（2）知：NC=PM= m，　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或