圆的极线问题P为圆O外一点作过P的割线PABPCD交圆O于AB；CD证明：AC与BD的交点在P的极线上AD与BC的交点在P的极线上纯几何证明我已经做出想要一种用曲线系证明的方法

Question

圆的极线问题
P为圆O外一点
作过P的割线PAB PCD交圆O于AB；CD
证明：
AC与BD的交点在P的极线上
AD与BC的交点在P的极线上
纯几何证明我已经做出
想要一种用曲线系证明的方法

Answer 1

原题 如图,过定点P作定⊙O两条动割线PAB与PCD,连结AD与BC,交于点Q．求证：动点Q在一条定直线上． EFQACOPDB 问题1 如图,过点P作⊙O两条割线PAB与PCD,连结AD与BC,交于点Q,直线PQ交⊙O于点E、F,点M为弦EF的中点．求证：PMPQPFPE⋅=⋅． MEFQACOPDB MEFQACPODB 注：要证明的结论等价于FQPFEQPE=,即“内分比＝外分比”,也即点P,E,Q,F构成调和分割.证法一：在射线PF上取点M,使PQ·PM＝PA·PB＝PC·PD＝PE·PF,则A,Q,M,B四点共圆,Q,C,D,M四点共圆． 因此 ∠BMF＝∠BAD,∠DMF＝∠DCB,因此 ∠BMF＝∠FMD,从而∠BOD＝∠BMD,因此O,M,B,D四点共圆． 因此 ∠OMD＝∠OBD,又 BODFMD∠=∠21,OB＝OD,因此 ∠FMD＋∠OMD＝90° 即OM⊥MF（另法：将∠OMF视为圆周角,则其所对的弧由两部分组成一个半圆） 因此 点M为弦EF的中点．