在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求|OH||ON|；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公

Question

在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y²=2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（Ⅰ）求(|OH|)/(|ON|)；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（(t2)/(2p)，t），
∵M关于点P的对称点为N，
∴(xN+xM)/(2)=(t2)/(2p)，(yN+yM)/(2)=t，
∴N（(t2)/(p)，t），
∴ON的方程为y=(p)/(t)x，
与抛物线方程联立，解得H（(2t2)/(p)，2t）
∴(|OH|)/(|ON|)=(|yH|)/(|yN|)=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MH=(p)/(2t)，
∴直线MH的方程为y=(p)/(2t)x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y²-4ty+4t²=0，
∴△=16t²-4×4t²=0，
∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．