如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），平行于y轴的直线x=2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）．（1）

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），平行于y轴的直线x=2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）．

（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
【平行班】
（3）当S_△ABP=4时，以PB为直角边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．
【双语班，实验班】
（4）当S_△ABP=S_△BPC时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．

Answer 1

（1）∵直线AB：y=kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴0=3k+1，
∴k=-(1)/(3)，
直线AB的解析式是y=-(1)/(3)x+1．
当x=0时，y=1，
∴点A（0，1）；

（2）如图1、过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=2，
∵x=2时，y=-(1)/(3)x+1=(1)/(3)，
∵P在点D的上方，
∴PD=n-(1)/(3)，
∴S_△APD=(1)/(2)AM•PD=(1)/(2)×2×（n-(1)/(3)）=n-(1)/(3)；
由点B（3，0），可知点B到直线x=2的距离为1，即△BDP的边PD上的高长为1，
∴S_△BPD=(1)/(2)×1×（n-(1)/(3)）=(1)/(2)（n-(1)/(3)），
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=(3)/(2)n-(1)/(2)；

（3）当S_△ABP=4时，(3)/(2)n-(1)/(2)=4，解得n=3，
∴点P（2，3）．
∵E（2，0），
∴PE=3，BE=1，
①如图2，∠CPB=90°，BP=PC，
过点C作CN⊥直线x=2于点N．
则△CNP≌△BEP，
∴PN=EB=1，CN=PE=3，
∴NE=NP+PE=1+3=4，
∴C（5，4）；
②如图3、∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
同理可得△CBF≌△PBE．
∴BF=PE=3，CF=BE=1，
∴OF=OB+BF=3+3=6，
∴C（6，1），
综上所述，以PB为直角边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（5，4）或（6，1）；
（4）如图2，在Rt△BPE中，∵P（2，n），B（3，0），
∴PE=n，BE=1，
由勾股定理得：PB²=PE²+BE²=n²+1，
∵S_△ABP=S_△BPC，
∴(3)/(2)n-(1)/(2)=(1)/(2)（n²+1），
3n-1=n²+1，
n²-3n+2=0，
n=1或2，
∵D（2，(1)/(3)），且P在点D的上方，
∴P（2，1）或（2，2），
①当n=1时，如图2，NC=PE=1，PN=BE=1，
∴C（3，2），
如图3，BF=CF=1，
∴C（4，1），
②当n=2时，如图2，同理得C（4，3），
如图3，得C（5，1），
综上所述，点C的坐标是（3，2）或（4，1）或（4，3）或（5，1）．