已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一个焦点为（22，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上的任意一点P，分别作这两条渐近线的平行线与这两条渐近线得到四边形ODPG，证明四边形ODPG

Question

已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一个焦点为（2√(2)，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上的任意一点P，分别作这两条渐近线的平行线与这两条渐近线得到四边形ODPG，证明四边形ODPG的面积是一个定值；
（3）（普通中学做）命题甲：设直线x=0与y=h（h>0）在第一象限内与渐近线y=x所围成的三角形OMN绕着y轴旋转一周所得几何体的体积．

（重点中学做）命题乙：设直线y=0与y=h（h>0）在第一象限内与双曲线及渐近线所围成的如图所示的图形OABN，求它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积．

Answer 1

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0），
∵c=2√(2)，渐近线方程为y=±x，
∴a²+b²=8，且a=b，从而a=b=2，双曲线C的方程为(x2)/(4)-(y2)/(4)=1．…（4分）
（2）由于两条渐近线互相垂直，∴四边形ODPG为矩形．
设P（x₀，y₀），则(x20)/(4)-(y20)/(4)=1，
∵|PD|•|PG|=(|x0-y0|)/(√(2))•(|x0+y0|)/(√(2))=(|x20-y20|)/(2)=2．
∴四边形ODPG的面积是一个定值．…（8分）
（3）命题甲：设y=h在第一象限内与渐近线的交点N的横坐标x=h，三角形OMN绕着y轴旋转一周所得几何体是一个以|MN|为半径，OM为高的圆锥，
体积等于(πh3)/(3)（立方单位）…（12分）
命题乙：设y=h在第一象限内与渐近线的交点N的横坐标x=h，与双曲线第一象限的交点B的横坐标x=√(4+h2)，
记y=h与y轴交于点M，因为π|MB|²-π|MN|²=4π
根据祖暅原理，可得旋转体的体积为4πh（立方单位）…（12分）