已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0．b＞0)与椭圆x218+y214＝1有共同的焦点，点A(3，7)在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

Question

已知双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0．b＞0)与椭圆(x2)/(18)+(y2)/(14)＝1有共同的焦点，点A(3，√(7))在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

Answer 1

（1）由已知双曲线C的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）
由双曲线定义||AF₁|-|AF₂||=2a，
∴√(25+7)−√(1+7)＝2a
∴a＝√(2)，c2＝4，
∴b²=2
∴所求双曲线为(x2)/(2)−(y2)/(2)＝1…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B在双曲线上
∴

x

2 1

−

y

2 1

＝2

x

2 2

−

y

2 2

＝2

，两方程相减得：得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
∴(y1−y2)/(x1−x2)＝(x1+x2)/(y1+y2)＝(2)/(4)＝(1)/(2)，
∴kAB＝(1)/(2)
∴弦AB的方程为y−2＝(1)/(2)(x−1)即x-2y+3=0
经检验x-2y+3=0为所求直线方程．…（12分）