已知双曲线Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，以原点为圆心，OF为半径的圆分别与双曲线Γ的一条渐近线及双曲线Γ交于M、N两点（其中M、N均为第一象限上的点），当MF∥ON时，双曲线Γ的

Question

已知双曲线Γ：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左焦点为F，以原点为圆心，OF为半径的圆分别与双曲线Γ的一条渐近线及双曲线Γ交于M、N两点（其中M、N均为第一象限上的点），当MF∥ON时，双曲线Γ的离心离一定在区间（　　）

A. （1，

(4)/(3)）

B. （

(4)/(3)，√(2)）

C. （

√(2)，√(3)）

D. （

√(3)，2）

Answer 1

双曲线Γ：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左焦点为F（-c，0），
一条渐近线方程为y=(b)/(a)x，
以原点为圆心，OF为半径的圆为x²+y²=c²，
联立渐近线方程和圆的方程，可得M（a，b），
MF的斜率为k=(b)/(a+c)，
由MF∥ON，可得ON的斜率为(b)/(a+c)，
即有直线ON：y=(b)/(a+c)x．
联立圆的方程和双曲线方程，可得N（(a)/(c)√(c2+b2)，(b2)/(c)），
即有(b2)/(c)=(b)/(a+c)•(a)/(c)√(c2+b2)，
化简可得c³+2ac²-2a²c-2a³=0，
由e=(c)/(a)可得，
e³+2e²-2e-2=0，
令f（x）=x³+2x²-2x-2，
f（1）=-1<0，f（(4)/(3)）=(34)/(27)>0，
则f（1）f（(4)/(3)）<0，
由零点存在定理可得，e∈（1，(4)/(3)）．
故选：A．