如图,设双曲线C1:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,点B为双曲线虚轴的左端点,已知Cl的离心率为233,且△ABF的面积S=1-32.(Ⅰ)求双曲线Cl的方程;(Ⅱ)设抛物线C2的顶
如图,设双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,点B为双曲线虚轴的左端点,已知Cl的离心率为,且△ABF的面积S=1-.
(Ⅰ)求双曲线Cl的方程;
(Ⅱ)设抛物线C2的顶点在坐标原点,焦点为F,动直线l与C2相切于点P,与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M?若是,求出定点M的坐标;若不是,请说明理由.
答案和解析
(Ⅰ)∵双曲线C
1:
-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,
上顶点为A,点B为双曲线虚轴的左端点,
Cl的离心率为,且△ABF的面积S=1-,
∴,解得a=,b=1.c=2,
∴双曲线方程为-x2=1.
(Ⅱ)由题设,抛物线C2的方程为x2=8y,准线方程为y=-2,
由y=
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2016-12-07
- 问题解析
- (Ⅰ)由已知得,由此能求出双曲线方程.
(Ⅱ)由题设,抛物线C2的方程为x2=8y,准线方程为y=-2,由y=x2,得y′=x,设P(x0,x02),则直线l的方程y=x0x-x02,联立y=-2,得Q(,-2),假设存在定点M(0,m)满足题设条件,由已知条件求出m=2,故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M(0,2).
- 名师点评
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- 本题考点:
- 直线与圆锥曲线的综合问题.
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- 考点点评:
- 本题考查双曲线方程的求法,考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
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