已知圆C：（x-t）2+y2=20（t<0）与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个公共点为B（0，-2），F（c，0）为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B．（1）求t的值及椭圆E的方程；（2）过点F任作与坐

Question

已知圆C：（x-t）²+y²=20（t<0）与椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a>b>0)的一个公共点为B（0，-2），F（c，0）为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B．
（1）求t的值及椭圆E的方程；
（2）过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为∠MPN的平分线？

Answer 1

（1）由题意知，b=2，
∵C（t，0），B（0，-2），∴BC=√(t2+4)=√(20)，则t=±4，
∵t<0，∴t=-4．
∵BC⊥BF，∴c=1，则a²=b²+c²=5．
∴椭圆E的方程为(x2)/(5)+(y2)/(4)=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设l：y=k（x-1）（k≠0），代入(x2)/(5)+(y2)/(4)=1，化简得
（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0．
∴x1+x2=(10k2)/(4+5k2)，x1x2=(5k2-20)/(4+5k2)．
若点P存在，设P（m，0），由题意，k_PM+k_PN=0．
∴(y1)/(x1-m)+(y2)/(x2-m)=(k(x1-1))/(x1-m)+(k(x2-1))/(x2-m)=0．
∴（x₁-1）（x₂-m）+（x₂-1）（x₁-m）=0．
即2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=2•(5k2-20)/(4+5k2)-（1+m）•(10k2)/(4+5k2)+2m=0．
∴8m-40=0，得m=5．
即在x轴上存在一定点P（5，0），使PF恰为∠MPN的角平分线．