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已知三角形ABC为正三角形,P为内切圆上任一点,求证:PA^2+PB^2+PC^2为定值!
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已知三角形ABC为正三角形,P为内切圆上任一点,求证:PA^2+PB^2+PC^2为定值!
▼优质解答
答案和解析
以等边△ABC的BC中点为平面直角坐标系坐标原点,AO为Y轴,
设△ABC边长=2a,则B、C坐标为:
B﹙-a,0﹚、C﹙a,0﹚,
AO⊥BC,作BE⊥AC,
则AO与BE交点D就是等边△ABC的内切圆的圆心,
由勾股定理或三角函数可求得:
AO=√3a,OD=√3a/3,
∴D坐标为:D﹙0,√3a/3﹚,r=√3a/3,
∴圆D的方程为:x²+﹙y-√3a/3﹚²=﹙√3a/3﹚²,
化简得:①3x²+3y²-2√3ax=0,
设P﹙m,n﹚是圆D上任意一点,
则P点满足圆方程:
∴②3m²+3n²-2√3an=0,
又由两点之间的距离公式得:
PA²=m²+﹙n-√3a﹚²,
PB²=﹙m+a﹚²+n²,
PC²=﹙m-a﹚²+n²,
∴将上面的值代入原式并化简得:
所以PA²+PB²+PC²
=3m²+3n²-2√3an+5a²,
=0+5a²
=5a²
PA²+PB²+PC²=5a²是一个定值.
当然为了好算把边长设为2a
若是边长=a PA²+PB²+PC²=5a²/4
不知道纯几何解法有没有,这是初中的还是高中的题?
设△ABC边长=2a,则B、C坐标为:
B﹙-a,0﹚、C﹙a,0﹚,
AO⊥BC,作BE⊥AC,
则AO与BE交点D就是等边△ABC的内切圆的圆心,
由勾股定理或三角函数可求得:
AO=√3a,OD=√3a/3,
∴D坐标为:D﹙0,√3a/3﹚,r=√3a/3,
∴圆D的方程为:x²+﹙y-√3a/3﹚²=﹙√3a/3﹚²,
化简得:①3x²+3y²-2√3ax=0,
设P﹙m,n﹚是圆D上任意一点,
则P点满足圆方程:
∴②3m²+3n²-2√3an=0,
又由两点之间的距离公式得:
PA²=m²+﹙n-√3a﹚²,
PB²=﹙m+a﹚²+n²,
PC²=﹙m-a﹚²+n²,
∴将上面的值代入原式并化简得:
所以PA²+PB²+PC²
=3m²+3n²-2√3an+5a²,
=0+5a²
=5a²
PA²+PB²+PC²=5a²是一个定值.
当然为了好算把边长设为2a
若是边长=a PA²+PB²+PC²=5a²/4
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