已知三角形ABC为正三角形,P为内切圆上任一点,求证：PA^2+PB^2+PC^2为定值!

Question

已知三角形ABC为正三角形,P为内切圆上任一点,求证：PA^2+PB^2+PC^2为定值!

Answer 1

以等边△ABC的BC中点为平面直角坐标系坐标原点,AO为Y轴,
设△ABC边长=2a,则B、C坐标为：
B﹙－a,0﹚、C﹙a,0﹚,
AO⊥BC,作BE⊥AC,
则AO与BE交点D就是等边△ABC的内切圆的圆心,
由勾股定理或三角函数可求得：
AO=√3a,OD=√3a／3,
∴D坐标为：D﹙0,√3a／3﹚,r=√3a／3,
∴圆D的方程为：x²＋﹙y－√3a／3﹚²=﹙√3a／3﹚²,
化简得：①3x²＋3y²－2√3ax=0,
设P﹙m,n﹚是圆D上任意一点,
则P点满足圆方程：
∴②3m²＋3n²－2√3an=0,
又由两点之间的距离公式得：
PA²=m²＋﹙n－√3a﹚²,
PB²=﹙m＋a﹚²＋n²,
PC²=﹙m－a﹚²＋n²,
∴将上面的值代入原式并化简得：
所以PA²＋PB²＋PC²
=3m²＋3n²－2√3an＋5a²,
=0+5a²
=5a²
PA²＋PB²＋PC²=5a²是一个定值.
当然为了好算把边长设为2a
若是边长=a PA²＋PB²＋PC²=5a²/4
不知道纯几何解法有没有,这是初中的还是高中的题?