如图，AB为圆O的直径，P是AB延长线上一点，割线PCD交圆O于C，D两点，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）证明：F、E、C、D四点共圆；（2）若AP=10，BP=2，CP=3，求sin∠DPF的

Question

如图，AB为圆O的直径，P是AB延长线上一点，割线PCD交圆O于C，D两点，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．

（1）证明：F、E、C、D四点共圆；
（2）若AP=10，BP=2，CP=3，求sin∠DPF的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
由AB为直径，可得∠ADB=90°，
由∠APF=∠ADB=90°，
且∠DAB=∠PAF，
可得△ADB∽△APF，
即有∠ABD=∠AFP，
又∠ACD=∠ABD，
可得∠ACD=∠AFP，
即∠DCE+∠DFE=180°，
可得F、E、C、D四点共圆；
（2）AP=10，BP=2，CP=3，
由圆的割线定理可得，PB•PA=PC•PD，
即为2×10=3PD，
即PD=(20)/(3)．
PA=PB+AB，即AB=PA-PB=10-2=8．
可得OD=4，
连接OD，在△POD中，PO=6，PD=(20)/(3)，OD=4，
由余弦定理可得cos∠DPO=(PD2+PO2-OD2)/(2PD•PO)
=((400)/(9)+36-16)/(2×(20)/(3)×6)=(29)/(36)．
则sin∠DPF=sin（90°-∠DPO）=cos∠DPO=(29)/(36)．