已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程（2）已知直线l:Y=KX+根号3与椭圆交AB点,是否存在k使线段AB为直径的圆恰好经过原点O

Question

已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程（2）已知直线l:Y=KX+根号3与椭圆交AB点,是否存在k使线段AB为直径的圆恰好经过原点O若有求k若无说理由

Answer 1

（1）a²=b²+c²
离心率=c/a=√3/2
P到焦点距离为2
2a=2×2=4
a=2
c=√3
b²=a²-c²=4-3=1
椭圆方程为y²/4+x²=1
（2）设A（x1,y1）=（x1,kx1+√3）；
B（x2,y2）=（x2,kx2+√3）
圆的直径=√【（x1-x2）²+（y1-y2）²】
=√【（x1-x2）²+k²（x1-x2）²】
=√【（1+k²）（x1-x2）²】
假设存在这样的k,则（0,0）到直线的距离d²=√3²/（k²+1）
距离d=圆的半径
即√【3/（k²+1）】=√【（1+k²）（x1-x2）²】/2
整理的（1+k²）²（x1-x2）²=12
把（x,kx+√3）代入椭圆方程的
（k²+4）x²+2√3kx-1=0
x1+x2=-2√3k/（k²+4）
x1*x2=-1/（k²+4）
所以（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1*x2
=【-2√3k/（k²+4）】²+4/（k²+4）
=16（k²+1）/（k²+4）²
（1+k²）²（x1-x2）²=12可整理成
16（1+k²）³/（k²+4）²=12
求出k来