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已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程(2)已知直线l:Y=KX+根号3与椭圆交AB点,是否存在k使线段AB为直径的圆恰好经过原点O
题目详情
已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程(2)已知直线l:Y=KX+根号3与椭圆交AB点,是否存在k使线段AB为直径的圆恰好经过原点O若有求k若无说理由
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答案和解析
(1)a²=b²+c²
离心率=c/a=√3/2
P到焦点距离为2
2a=2×2=4
a=2
c=√3
b²=a²-c²=4-3=1
椭圆方程为y²/4+x²=1
(2)设A(x1,y1)=(x1,kx1+√3);
B(x2,y2)=(x2,kx2+√3)
圆的直径=√【(x1-x2)²+(y1-y2)²】
=√【(x1-x2)²+k²(x1-x2)²】
=√【(1+k²)(x1-x2)²】
假设存在这样的k,则(0,0)到直线的距离d²=√3²/(k²+1)
距离d=圆的半径
即√【3/(k²+1)】=√【(1+k²)(x1-x2)²】/2
整理的(1+k²)²(x1-x2)²=12
把(x,kx+√3)代入椭圆方程的
(k²+4)x²+2√3kx-1=0
x1+x2=-2√3k/(k²+4)
x1*x2=-1/(k²+4)
所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2
=【-2√3k/(k²+4)】²+4/(k²+4)
=16(k²+1)/(k²+4)²
(1+k²)²(x1-x2)²=12可整理成
16(1+k²)³/(k²+4)²=12
求出k来
离心率=c/a=√3/2
P到焦点距离为2
2a=2×2=4
a=2
c=√3
b²=a²-c²=4-3=1
椭圆方程为y²/4+x²=1
(2)设A(x1,y1)=(x1,kx1+√3);
B(x2,y2)=(x2,kx2+√3)
圆的直径=√【(x1-x2)²+(y1-y2)²】
=√【(x1-x2)²+k²(x1-x2)²】
=√【(1+k²)(x1-x2)²】
假设存在这样的k,则(0,0)到直线的距离d²=√3²/(k²+1)
距离d=圆的半径
即√【3/(k²+1)】=√【(1+k²)(x1-x2)²】/2
整理的(1+k²)²(x1-x2)²=12
把(x,kx+√3)代入椭圆方程的
(k²+4)x²+2√3kx-1=0
x1+x2=-2√3k/(k²+4)
x1*x2=-1/(k²+4)
所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2
=【-2√3k/(k²+4)】²+4/(k²+4)
=16(k²+1)/(k²+4)²
(1+k²)²(x1-x2)²=12可整理成
16(1+k²)³/(k²+4)²=12
求出k来
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