如图所示，O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k-2）x+k=0（k是整数）的最大整数根．P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点．若PA，PB，PC的长都

Question

如图所示， O的直径的长是关于x的二次方程x²+2（k-2）x+k=0（k是整数）的最大整数根．P是 O外一点，过点P作 O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与 O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA²+PB²+PC²的值．

Answer 1

设方程x²+2（k-2）x+k=0的两个根为x₁，x₂，x₁≤x₂．由根与系数的关系得x₁+x₂=4-2k，①x₁x₂=k．②
由题设及①知，x₁，x₂都是整数．从①，②消去k，得2x₁x₂+x₁+x₂=4，（2x₁+1）（2x₂+1）=9．
由上式知，x₂≤4，且当k=0时，x₂=4，故最大的整数根为4．
于是 O的直径为4，所以BC≤4．
因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4．
连接AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以△PAB∽△PCA，(PA)/(PB)=(PC)/(PA)．
故PA²=PB（PB+BC）③
（1）当BC=1时，由③得，PA²=PB²+PB，于是PB²<PA²<（PB+1）²，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA²=PB²+2PB，于是PB²<PA²<（PB+1）²，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得，PA²=PB²+3PB，于是（PA-PB）（PA+PB）=3PB，
由于PB不是合数，结合PA-PB<PA+PB，
故只可能

PA-PB=1

PA+PB=3PB

，

PA-PB=3

PA+PB=PB

，

PA-PB=PB

PA+PB=3

，
解得PA=2，PB=1．
此时PA²+PB²+PC²=21．
（4）当BC=4，由③得，PA²=PB²+4PB，于是（PB+1）²<PB²+4PB=PA²<（PB+2）²，矛盾．
综上所述PA²+PB²+PC²=21．