如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．（1）求证：PA2=PB?PC；（2）割线PEF交⊙O于点E、F，且PB=BC=4，PE=6，求EF的长．

Question

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．
（1）求证：PA ² =PB?PC；
（2）割线PEF交⊙O于点E、F，且PB=BC=4，PE=6，求EF的长．

Answer 1

（1）连接AB、AC、BO、AO，∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，又∵2∠BAO+∠O=180°，∴∠PAB=∠O，∵∠C=∠O，∴∠PAB=∠C，∴△PAB∽△PCA，∴，即PA2=PB?PC．（2）∵PA2=PB?PC，同理，PA2=PD?PE，∴PD?PE=PB?PC，且PB=BC=4，PE=6，∴，即DE=PE-PD=6-=．
分析：
（1）连接AB、AC、BO、AO，可证得△PAB∽△PCA，则，即PA2=PB?PC（2）由PA2=PB?PC，同理得，PA2=PD?PE，可证得PD?PE=PB?PC，根据题意可求得PD，即得出DE的长．
点评：
本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．