过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．

Question

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．

Answer 1

如图所示，

连接AB，∵△PBC∽△PDB，
∴(BD)/(BC)=(PD)/(PB)，
同理(AD)/(AC)=(PD)/(PA)；
又PA=PB，
∴(BD)/(BC)=(AD)/(AC)，即(BD)/(AD)=(BC)/(AC)；
又∠BAC=∠PBC=∠DAQ，
∴∠BAC=∠ADQ，
∴△ABC∽ADQ，
∴(BC)/(AC)=(DQ)/(AQ)，
∴(BD)/(AD)=(DQ)/(AQ)，
又∠DAQ=∠DBC=∠BDQ，
∴△ADQ∽△DBQ，
∴∠ADQ=∠DBQ=∠PAC．