如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；（II）求证：圆C经过除原点外的一个

Question

如图，抛物线M：y=x²+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．
（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；
（II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；
（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

Answer 1

（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A（-b，0），B（1-b，1-b）
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，
则

b2−bD＝0

(1−b) 2+(1−b) 2+(1−b)D+(1−b)E＝0

⇒

D＝b

E＝b−2

，
故经过三点O，A，B的圆C的方程为x²+y²+bx+（b-2）y=0，
设圆C的圆心坐标为（x₀，y₀），
则x₀=-(b)/(2)，y₀=-(b−2)/(2)，∴y₀=x₀+1，
这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b-2）n=0，整理得（m+n）b+m²+n²-2n=0，
它对任意b≠0恒成立，∴

m+n＝0

m2+n 2−2n＝0

⇒

m＝−1

n＝1

或

m＝0

n＝0

故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（-1，1）．
（III）抛物线M的顶点坐标为（-(b)/(2)，-(b2)/(4)），若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，
则|-(b−2)/(2)+(b2)/(4)|≤√((b2)/(4)+((b−2)2)/(4))，
整理得（b²-2b）²≤0，因b≠0，∴b=2，
以上过程均可逆，故存在抛物线M：y=x²+2x，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径．