已知过点A（-2，0）的直线与x=2相交于点C，过点B（2，0）的直线与x=-2相交于点D，若直线CD与圆x2+y2=4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为．

Question

已知过点A（-2，0）的直线与x=2相交于点C，过点B（2，0）的直线与x=-2相交于点D，若直线CD与圆x²+y²=4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为___．

Answer 1

设C（2，y₁），D（-2，y₂），则直线CD的方程为y-y₁=(y1-y2)/(4)（x-2），
即（y₁-y₂）x-4y+2（y₁+y₂）=0，
∵直线CD与圆x²+y²=4相切，
∴(2|y1+y2|)/(√((y1-y2)2+16))=2，整理得y₁y₂=4．
设M（x₀，y₀），则直线AM的方程为y=(y0)/(y0+2)（x+2），
令x=2得y=(4y0)/(x0+2)，即y₁=(4y0)/(x0+2)，
同理得y₂=(-4y0)/(x0-2)，
∵y₁y₂=4．
∴(4y0)/(x0+2)•(-4y0)/(x0-2)=4，
即x₀²+4y₀²=4，即(x02)/(4)+y₀²=1．
∴M的轨迹方程为：(x2)/(4)+y2=1（x≠±2）．
故答案为：(x2)/(4)+y2=1（x≠±2）．