已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．（Ⅰ）求点M的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）大家知道，过圆上任意一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过圆心（定点），

Question

已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）大家知道，过圆上任意一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，过曲线C上一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB．
（ⅰ）若点P恰好是曲线C的顶点，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；
（ⅱ）试探究：若改变曲线C的开口，且点P不是曲线C的顶点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题，并加以证明，否则说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）M到定点（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴轨迹为抛物线…（2分）
轨迹方程为y²=4x…（3分）
（Ⅱ）（i）依题意得设OA：y=kx，（k≠0），此时OB：y＝−(1)/(k)x
由

y＝kx

y2＝4x

得A((4)/(k2)，(4)/(k))，…（5分）
同理B（4k²，-4k）…（6分）
因此AB方程为y+4k＝((4)/(k)+4k)/((4)/(k2)−4k2)(x−4k2)
即y+4k＝(1)/((1)/(k)−k)(x−4k2)…（7分）
令y=0得4k((1)/(k)−k)＝x−4k2，∴x=4，
∴直线AB必过定点Q（4，0）…（8分）
（ii）结论：过抛物线y²=2px上顶点以外的定点P任作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过定点．
设点P（x₀，y₀）为y²=2px上一定点（非原点），则y02＝2px0
过P作互相垂直的弦PA，PB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y12＝2px1，y22＝2px2，
∴(y1−y0)/(x1−x0)•(y2−y0)/(x2−x0)＝−1，
∴

y

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求点M的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）（i）求出A，B的坐标，可得直线AB的方程，令y=0，可得直线AB必过定点Q（4，0）；
（ⅱ）过抛物线y²=2px上顶点以外的定点P任作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过定点．假设AB过定点Q（a，b），(y1−b)/((y12)/(2p)−a)＝(y2−b)/((y22)/(2p)−a)化简得y₁y₂-b（y₁+y₂）+2pa=0，即可得出结论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：

本题主要考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，数形结合思想以及特殊与一般思想．

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