如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G、E是劣弧BD上一点，点E处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．（1）求证：PE=PF（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圆O的直径．

Question

如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G、E是劣弧BD上一点，点E处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．

（1）求证：PE=PF
（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圆O的直径．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OE，

∵EP是 O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠OEA+∠PEF=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠AGF=90°，
∴∠A+∠AFG=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠PEF=∠AFG，
∵∠EFP=∠AFG，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（2） 如图2，连接BE，

∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AGF=90°，
∴∠AGF=∠AEB，
∵∠A=∠A，
∴△AGF∽△AEB，
∴(AG)/(AE)=(AF)/(AB)，
∵AG=4，AF=5，EF=25，
∴(4)/(5+25)=(5)/(AB)，
∴AB=(75)/(2)，
即圆O的直径为(75)/(2)．