如图．已知△ABC的垂心为H．外接圆⊙O，M为AB的中点．连接MH并延长交⊙O于D．求证：HD⊥CD．

Question

如图．已知△ABC的垂心为H．外接圆⊙O，M为AB的中点．连接MH并延长交⊙O于D．求证：HD⊥CD．

Answer 1

证明：如图．作⊙O直径CE．连接AE、BE、AH、BH．
∵BE⊥BC（直径所对的圆周角是90°），AH⊥BC（H是△ABC的垂心），
∴BE ∥ AH（垂直于同一条直线的两条直线平行），
同理，EA ∥ BH，
∴四边形AHBE是平行四边形，
∴EH与AB交点和M重合，
∴E、M、H、D四点共线，
∴∠D等于90°（直径所对角是90°），
即HD⊥CD．