（2006•永州）（附加题）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M，N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F，H两点．（1）试判断线段AC与BC

Question

（2006•永州）（附加题）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M，N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F，H两点．
（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：FC•CH=AE•AO；
（3）若FC，CH是方程x²-2√(5)x+4=0的两根（CH＞CF），求图中阴影部分图形的周长．

Answer 1

（1）相等．（1分）
连接OC，则CO⊥AB，故AC=BC．

（2）证明：连接FB，AH，C0，
∵∠FBA=∠AHF，∠FCB=∠HCA，
∴△ACH∽△FCB，
∴AC•CB=FC•CH=AC²，
∵∠ACO=∠CEA=90°，∠CAO=∠CAO，
∴△ACE∽△AOC，得AC²=AE•AO．
∴FC•CH=AE•AO．

（3）解方程得：CH=√(5)+1，CF=√(5)-1，
CE=EF-FC=EH-FC=√(5)-（√(5)-1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=(CE)/(AC)＝(1)/(2)，
∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∠CON=120°．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×(√(3))/(3)＝(2)/(3)√(3)，
AO=(AC)/(sin60°)＝

作业帮用户 2017-11-01

问题解析

（1）相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知AB为大圆的弦，且垂直于半径，所以相等．
（2）利用切线定理，和相交弦定理就可证明．
（3）先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计算相加．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；弧长的计算；解直角三角形．

考点点评：

[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识．

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4√(3)