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(2006•永州)(附加题)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CE⊥AD,垂足为E,交大圆于F,H两点.(1)试判断线段AC与BC
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(2006•永州)(附加题)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CE⊥AD,垂足为E,交大圆于F,H两点.
(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:FC•CH=AE•AO;
(3)若FC,CH是方程x2-2
x+4=0的两根(CH>CF),求图中阴影部分图形的周长.
(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:FC•CH=AE•AO;
(3)若FC,CH是方程x2-2
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▼优质解答
答案和解析
(1)相等.(1分)
连接OC,则CO⊥AB,故AC=BC.
(2)证明:连接FB,AH,C0,
∵∠FBA=∠AHF,∠FCB=∠HCA,
∴△ACH∽△FCB,
∴AC•CB=FC•CH=AC2,
∵∠ACO=∠CEA=90°,∠CAO=∠CAO,
∴△ACE∽△AOC,得AC2=AE•AO.
∴FC•CH=AE•AO.
(3)解方程得:CH=
+1,CF=
-1,
CE=EF-FC=EH-FC=
-(
-1)=1,AC2=4,AC=2,
在Rt△ACE中,sinA=
=
,
∴∠A=30°,∴∠AOC=60°,∠CON=120°.
在△ACO中,CO=AC•tanA=2×
=
,
AO=
=
连接OC,则CO⊥AB,故AC=BC.
(2)证明:连接FB,AH,C0,
∵∠FBA=∠AHF,∠FCB=∠HCA,
∴△ACH∽△FCB,
∴AC•CB=FC•CH=AC2,
∵∠ACO=∠CEA=90°,∠CAO=∠CAO,
∴△ACE∽△AOC,得AC2=AE•AO.
∴FC•CH=AE•AO.
(3)解方程得:CH=
5 |
5 |
CE=EF-FC=EH-FC=
5 |
5 |
在Rt△ACE中,sinA=
CE |
AC |
1 |
2 |
∴∠A=30°,∴∠AOC=60°,∠CON=120°.
在△ACO中,CO=AC•tanA=2×
| ||
3 |
2 |
3 |
3 |
AO=
AC |
sin60° |
4
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