如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接B

Question

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO。

（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
①求y与x之间的函数关系式；
②当BE与小圆相切时，求x的值。

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C， ∴∠OAB=∠OCD=90°， ∵BC⊥AB， ∴∠CBA=∠CBD=90°， ∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°， 又∵OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠1=∠2， ∴△AOB∽△BDC； （2）①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形， ∴BF=OA=1， 由垂径定理，得BC=2BF=2， 在Rt△AOB中，OA=1，OB=x， ∴AB= ， 由（1）得△AOB∽△BDC， ∴ 即 ， ∴y= （或y= ）； ②当BE与小圆相切时，OE⊥BE， ∵OE=1，OC=x， ∴EC=x-1，BE=AB= ， 在Rt△BCE中，EC 2 +BE 2 =BC 2 ， 即（x-1） 2 +（ ） 2 =2 2 ， 解得：x 1 =2x 2 =-1（舍去）， ∴当BE与小圆相切时，x=2。