若f（x）在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，a＞0，且f（0）=1，f（a）=0．证明：在（0，a）内必存在x1＜x2，使f′（x1）f′（x2）=1a2．

Question

若f（x）在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，a＞0，且f（0）=1，f（a）=0．证明：在（0，a）内必存在x₁＜x₂，使f′（x₁）f′（x₂）=(1)/(a2)．

Answer 1

令F（x）=f（x）-(x)/(a)，则F（0）=1，F（a）=-1，
由连续函数的零点存在定理可得，存在存在ξ∈（0，a），使得F（ξ）=0，
即f（ξ）=(ξ)/(a)．
在（0，ξ）与（ξ，a）上分别利用Lagrange中值定理可得，
存在x₁∈（0，ξ），使得f′（x₁）=(f(ξ)−1)/(ξ)，
存在x₂∈（ξ，a），使得f′（x₂）=(0−f(ξ))/(1−ξ)．
从而，
f′（x₁）f′（x₂）=(f(ξ)−1)/(ξ)•(0−f(ξ))/(a−ξ) 
=(f(ξ)−1)/(ξ−a)•(f(ξ))/(ξ) 
=((ξ)/(a)−1)/(ξ−a)•((ξ)/(a))/(ξ)
=(1)/(a2)．
即：存在0＜x₁＜x₂＜a，使得f′（x₁）f′（x₂）=(1)/(a2)．