阅读并解答：①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．②方程x2﹣x﹣2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=﹣1．③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣，x2=1，则有x

Question

阅读并解答：
①方程x ² ﹣2x+1=0的根是x ₁ =x ₂ =1，则有x ₁ +x ₂ =2，x ₁ x ₂ =1．
②方程x ² ﹣x﹣2=0的根是x ₁ = ，x ₂ = ，则有x ₁ +x ₂ = ，x ₁ x ₂ =﹣1．
③方程3x ² +4x﹣7=0的根是x ₁ =﹣ ，x ₂ =1，则有x ₁ +x ₂ =﹣ ，x ₁ x ₂ =﹣ ．
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax ² +bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x ₁ ，x ₂ ，那么x ₁ ，x ₂ 与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x ² +（2k+1）x+k ² ﹣2=0有实数根x ₁ ，x ₂ ，且x ₁ ² +x ₂ ² =11，求k的值．

Answer 1

（1）猜想为：设ax ² +bx+c=0（a≠0）的两根为x ₁ 、x ₂ ，
则有 ， ．
理由：设x ₁ 、x ₂ 是一元二次方程ax ² +bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知， ， ．
于是有 ， ，
综上得，设ax ² +bx+c=0（a≠0）的两根为x ₁ 、x ₂ ，则有 ， ．
（2）x ₁ 、x ₂ 是方程x ² +（2k+1）x+k ² ﹣2=0的两个实数根
∴x ₁ +x ₂ =﹣（2k+1），x ₁ x ₂ =k ² ﹣2，
又∵x ₁ ² +x ₂ ² =x ₁ ² +x ₂ ² +2x ₁ x ₂ ﹣2x ₁ x ₂ =（x ₁ +x ₂ ） ² ﹣2x ₁ x ₂
∴[﹣（2k+1）] ² ﹣2×（k ² ﹣2）=11
整理得k ² +2k﹣3=0，
解得k=1或﹣3，
又△=[﹣（2k+1）] ² ﹣4（k ² ﹣2 ）≥0，解得k≥﹣ ，∴k=1．