已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，在区间（0，1）内任取两个实数x1，x2（x1≠x2），若不等式f(x1+1)-f(x2+1)x1-x2>1恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[11，+∞）B.[13，+∞）C.[15，+∞）D.[17，+

Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，在区间（0，1）内任取两个实数x₁，x₂（x₁≠x₂），若不等式

(f(x1+1)-f(x2+1))/(x1-x2)>1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A. [11，+∞）

B. [13，+∞）

C. [15，+∞）

D. [17，+∞）

Answer 1

由于(f(x1+1)-f(x2+1))/(x1-x2)表示点（x₁+1，f（x₁+1）） 与点（x₂+1，f（x₂+1））连线的斜率，
因实数x₁，x₂在区间（0，1）内，故x₁+1 和x₂+1在区间（1，2）内．
∵不等式(f(x1+1)-f(x2+1))/(x1-x2)>1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x>-1，∴f′（x）=(a)/(x+1)-2x>1 在（1，2）内恒成立．
即 a>2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故x=2时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，
故答案为[15，+∞）．
故选：C．