已知公差不为0的等差数列an满足a2=3,a1、a3、a7成等比数列.（1）求an通项公式（2）数列bn满足：bn=[（an／an+1）+（an+1／an）],求数列bn的前n项和sn（3）cn=2^n*[（an+1／n）-z],若cn是单调递减数列,求z

Question

已知公差不为0的等差数列an满足a2=3,a1、a3、a7成等比数列.
（1）求an通项公式
（2）数列bn满足：bn=[（an／an+1）+（an+1／an）],求数列bn的前n项和sn
（3）cn=2^n*[（an+1／n）-z],若cn是单调递减数列,求z的取值范围

Answer 1

(1)
设{an}公差为d,d≠0
∵a2=3,a1、a3、a7成等比数列
∴{a1+d=3 ①
{(a1+2d)²=a1(a1+6d) ②
②==>4a1d+4d²=6a1d
==> a1d=2d,
∵d≠0
∴a1=2 ,d=1
∴an=n+1
(2)
bn=(n+1)/(n+2)+(n+2)/(n+1)
=[(n+2)-1]/(n+2)+[(n+1)+1]/(n+1)
=2+1/(n+1)-1/(n+2)
∴数列bn的前n项和
Sn=（2+1/2-1/3+2）+(2+1/3-1/4)+.+[2+1/(n+1)-1/(n+2)]
=2n+1/2-1/(n+2)