请证明：方程1＋x＋x2／2!＋x3／3!＋…＋x∧n／n!＝0在n为偶数的时候没有实数根,在n为奇数的时候,有且仅有一个实数根.

Question

请证明：方程1＋x＋x2／2!＋x3／3!＋…＋x∧n／n!＝0在n为偶数的时候没有实数根,在n为奇数的时候,有且仅有一个实数根.

Answer 1

记F(x,n) = 1＋x＋x^2／2!＋x^3／3!＋…＋x^n／n!
那么F'(x,n) = 1 + x + x^2/2!+ x^3/3!+ ...+ x^(n-1) / (n-1)!= F(x,n-1)
并且F(x,n) = F(x,n-1) + x^n / n!
用数学归纳法
当n = 1的时候
F(x,1) = 1 + x = 0有且仅有一个实数根,将实根记为 x = x1
那么令
F'(x,2) = F(x,1) = 0得 x = x1是唯一的驻点
所以F(x,2) >= F(x1,2) = F(x1,1) + (x1)^2/2 = (x1)^2/2 > 0
所以F(x,2) = 0无实根
而
F'(x,3) = F(x,2) > 0
所以F(x,3)在(-∞,∞)内单调增,而F(-∞) = -∞,F(∞) = ∞
所以必然存在x3使得F(x3) = 0
依次类推
当n是偶数的时候
F(x,n) >= F(x(n-1),n) = x(n-1)^n / n!> 0无实数根
当n是奇数的时候
F'(x,n)单调,并且F(-∞) = -∞,F(∞) = ∞所以存在实数根.