单调有界收敛准则中的e为何是无理数,怎样得出?在大学高数书上学的lim(n→无穷）（1＋1／n)的n次方＝e,其极限存在且用e来表示,但e为什么最后等于2.718...却没有给出证明,Why?

Question

单调有界收敛准则中的e为何是无理数,怎样得出?
在大学高数书上学的lim(n→无穷）（1＋1／n)的n次方＝e,其极限存在且用e来表示,但e为什么最后等于2.718...却没有给出证明,Why?

Answer 1

如果只是想计算e的近似值,直接用定义已经可以了（虽然效率比较低）.
注意(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^{n+1},取足够大的n就行了,并且利用上下界还能估计误差.
但是e是无理数的证明仅用定义不太够,还需要Taylor中值定理.
e^x=1+x/1!+x^2/2!+...+x^n/n!+(theta*x)^{n+1}/(n+1)!,其中0