数学证明难题（cosπ／4+isinπ／4）的n次方=cosnπ／4+isinnπ／4i为虚数单位,n是正整数.

Question

数学证明难题
（cosπ／4+ isinπ／4）的n次方=cosnπ／4+ isinnπ／4 i为虚数单位,n是正整数.

Answer 1

这个是棣莫弗定理：先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx 　　将e^t,sint ,cost 分别展开为泰勒级数：　　e^t = 1 + t + t^2/2!+ t^3/3!+ …… + t^n/n!+ …… 　　sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-…… 　　cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-…… 　　将t = ix 代入以上三式 ,可得欧拉公式 　　应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n 　　=e^inx 　　=cos(nx)+isin(nx)