高中数列题（说明："[]"中内容表示下标）以数列{a[n]}的任意相邻两项为坐标的点P[n](a[n],a[n+1])(n∈N*)均在一次函数y=2x+k(k≠0)的图像上,数列{b[n]}满足条件b[n]=a[n+1]-a[n].(n∈N*)（1）求

Question

高中数列题
（说明： "[ ]"中内容表示下标 ）
以数列{ a[n] }的任意相邻两项为坐标的点P[n] (a[n] , a[n+1]) (n∈N*)均在一次函数y=2x+k(k≠0)的图像上,数列{ b[n] }满足条件 b[n]=a[n+1]-a[n] .(n∈N*)
（1）求证：数列{ b[n] }是等比数列 （这一问我会）
（2）设数列{ a[n] },{b[n]}的前n项和分别为S[n],T[n],若S[6]=T[4],S[5]=﹣9,求k的值

Answer 1

由(1)可得：
bn=a(n+1)-an (n属于N+)为等比数列,公比为 2.
由于都在一次函数上,于是有：
a2=2a1+k ----------a2-a1=a1+k
an的数值会随n的变化而变化,但是a1就是一个常数了,即是：a1+k 为一个常数.
因此：
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2
…… ……
[a3-a2]/[a2-a1]=2
连乘可得：
[a(n+1)-an]/[a2-a1]=2^(n-1)
所以：
bn=[a(n+1)-an]=[a2-a1]2^(n-1)
=(a1+k)2^(n-1) (n属于N+)
故：
Tn=b1+b2+……+bn=[a2-a1]+[a3-a2]+……+[a(n+1)-an] =a(n+1)-a1
=(a1+k)2^0+(a1+k)2+……+(a1+k)2^(n-1)
=(a1+k)[2^0+2+……+2^(n-1)]
=(a1+k)[(2^n)-1] (n属于N+)
由于：
Tn=a(n+1)-a1=(a1+k)[(2^n)-1] ,于是：
a(n+1)=(a1+k)[(2^n)-1]+a1
=(a1+k)2^n -k
所以可得：
an=(a1+k)2^(n-1) -k (n属于N+)
因此：
Sn=a1+a2+……+an=[(a1+k) -k]+[2(a1+k) -k]+……+[(a1+k)2^(n-1) -k]
=(a1+k)[(2^0)+2+……+2^(n-1)] -nk
=(a1+k)[(2^n)-1] -nk (n属于N+)
根据条件得：
S6=T4
S5=-9
所以有：
63(a1+k)-6k=15(a1+k)
31(a1+k)-5k=-9
化简得：
48a1+42k=0
31a1+26k=-9
解得：
a1= -7 ,k=8
因此此时：k=8