A={xlf(x)=x},B={f[f(x)]=x},f(x)=a*x^2-1,A=B空集,求a的范围

Question

A={xlf(x)=x},B={f[f(x)]=x},f(x)=a*x^2-1,A=B空集,求a的范围

Answer 1

先证A是B的子集
因为若x属于A,则有f(x)=x
故f[f(x)]=x
则x也属于B
故每一个A中元素都在B中
故A是B的子集
再来满足A空集
A的条件为ax^2-x-1=0 （1）
要使A不空
（1）若a=0
则A=B={-1},与A=B空集矛盾
（2）若a0
则（1）式判别式1+4a>=0
a>=-1/4
此时B必不是空集,因为A是B的子集
再来满足AB
B的条件为a(ax^2-1)^2-x-1=0 (2)
因为A是B的子集,所以（1）式的根必为（2）式的根
故要满足AB
（2）式应有至少一个根不是（1）式的根
但（1）式的根全为（2）式的根
故（2）式应能分解出一个与（1）式一模一样的因式
这里可以据形式猜测
（2）后面为-x-1,而（1）式为ax^2-x-1=0
故可以先凑个ax^2
(2)式变为a(ax^2-1)^2+ax^2-ax^2-x-1=0
前面正好能用平方差公式
（2）式变为(ax^2-x-1)( a^2*x^2 + ax - a + 1 )=0
记 a^2*x^2 + ax - a + 1 = 0 为 （3）式
则（3）式应有至少一个实根与（1）式不同
由（3）式有实根得a^2-4a^2(-a+1)>=0
即a>=3/4
下面分两种情况——（3）式有一个还是两个根——来讨论
【1】（3）式只有一根
由判别式=0得a=3/4
代入（3）式得（3）式这唯一实根为-2/3
但它也是（1）式的一个根,不行
【2】(3)式有两个根
由判别式>0得a>3/4
此时情况十分有利,
除非两根都与（1）式的根相同,
否则（3）式应有至少一个实根与（1）式不同这一条件就能被满足
但是两根都与（1）式的根相同是不可能的
因为（1）式两根之和为1/a
而（2）式两根之和却是-1/a
因此a>3/4时,（3）式应有至少一个实根与（1）式不同一定成立
综合上面所述,a的范围是a>3/4