设a,b及√a+√b都是整数,证明√a及√b都是整数.我知道这个怎么证明的,但证明中我有一步搞不懂就是设n为正整数,且√n是有理数,则n是完全平方数.设√n=p/q,p,q为互质的正整数,则nq^2=p^2.从而q^2|

Question

设a,b及√a+√b都是整数,证明√a及√b都是整数.
我知道这个怎么证明的,但证明中我有一步搞不懂
就是设n为正整数,且√n是有理数,则n是完全平方数.
设√n=p/q,p,q为互质的正整数,则nq^2=p^2.
从而q^2|p^2,q|p,故q=1,所以n=p^2.引理得证.
q^2|p^2,q|p,故q=1
为什么q=1这个公式是怎么回事.q^2|p^2 ,q|p 我完全搞不懂.
如果有别的证明方法也可以告诉我,但希望你们能帮我解答我的疑问,

Answer 1

那个方法我也看不明白,貌似是有问题的
可以如下证明：
设√a+√b = m,m为整数
所以√a = m - √b
平方得a = m^2 + b - 2m √b
所以√b为有理数,由于b为整数,所以√b不可能为分数,那么√b必然为整数.
同理可证√a也是整数.