一道函数证明题设f(x)=ax^2+bx+c是整系数二次三项式,m,n是整数,且f(m)与f(n)的差为1.证明:|m-n|=1能否举例?因为f(x)=ax^2+bx+c是整系数二次三项式,m,n是整数所以[a(m+n)-b]是非零整数m-n也是非零整数

Question

一道函数证明题
设f(x)=ax^2+bx+c是整系数二次三项式,m,n是整数,且f(m)与f(n)的差为1.
证明:|m-n|=1
能否举例?
因为f(x)=ax^2+bx+c是整系数二次三项式,m,n是整数
所以[a(m+n)-b]是非零整数m-n 也是非零整数

Answer 1

f(m)-f(n)=am^2+bm-an^2-an
=a(m^2-n^2)+b(m-n)
=a(m+n)(m-n)+b(m-n)
=(m-n)[a(m+n)-b]=1
因为f(x)=ax^2+bx+c是整系数二次三项式,m,n是整数
所以[a(m+n)-b]是非零整数m-n 也是非零整数
其绝对值大于等于1
又因为f(m)-f(n）=1
所以二者绝对值都为1
举例：f(x)=x^2+2x+c
m =2 n=m-1=1
带入则结果为1
说明：
f(x)=ax^2+bx+c是整系数二次三项式 a,b,c是整数,有m,n是整数
所以[a(m+n)-b]是整数,又因为
f(m)与f(n)的差为1
f(m)-f(n)=(m-n)[a(m+n)-b]=1 所以上式非零
(^为平方符号,中考加油哦.)