求所有的正整数n和质数p,使得n^3=p^2-p-1.

Question

求所有的正整数n和质数p,使得n^3=p^2-p-1.

Answer 1

问题的思路在于将所给表达式凑成容易因式分解的式子,再利用整数的特殊性即可解决.
出于上述考虑,原式变为
n^3+1=p^2-p,即
(n+1)(n^2-n+1)=p(p-1)
注意到等式右边是互质的两个数p和p-1的乘积,左边两个因式最大公约数可能不为1
考虑它们的最大公约数,假设为d
那么d整除n^2-n+1和n+1的线性组合(n^2-n+1)-(n+1)(n-2)=3
所以d可能为1或3
d=1时,有n+1=p,n^2-n+1=p-1
或
n+1=p-1,n^2-n+1=p
可解得n=1,p=2
d=3时,两边同时除以9,有[(n+1)/3][(n^2-n+1)/3]=p(p-1)/9
由于(n+1)/3和（n^2-n+1）/3 互质,且后者比前者大
于是有
(n+1)/3=(p-1)/9,(n^2-n+1)/3=p
解之有 n=11,p=37
故所求共有两组,（1,2）,（11,37）
希望我的回答能帮助到你!