在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD为正三角形,平面PAD⊥面ABCD（1）求证AB⊥PD,（2）求PB与面ABC所成角的正切值,（3）求二面角P-BC-A的平面角的正切值,（4）若AB=2,求VP-ABCD

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD为正三角形,平面PAD⊥面ABCD
（1）求证AB⊥PD,（2）求PB与面ABC所成角的正切值,（3）求二面角P-BC-A的平面角的正切值,（4）若AB=2,求VP-ABCD

Answer 1

（1）AB属于面ABCD 平面PAD⊥面ABCD 所以AB⊥平面PAD 所以AB⊥PD
（2）过P做PE⊥AD 交AD于E连接BE 因为平面PAD⊥面ABCD PE⊥AD 所以
PE垂直面ABC 所以∠PBE 即为PB与面ABC所成角
PAD为正三角形 易得 PE=√3/2 AD BE=√5/2AD 所以tan∠PBE=PE/BE=√15/5
（3） 过P做PF⊥BC交BC于F连接EF 因为AB//CD AB⊥平面PAD 所以CD⊥平面PAD
所以∠PAD=∠PDC=90° 又因为PA＝PD　　AB＝DC　　所以　PB＝PC　因为PF⊥BC　　所以　F为BC中点　　EF//AB 所以 EF⊥BC 所以∠PFE为二面角P-BC-A的平面角
tan∠PFE=PE/EF=√3/2
（4）因为PE⊥面ABC PE为高 因为AB=2 所以PE=√3/2 AD =√3/2 AB=√3
S=2*2=4
V=1/3Sh=1/3*4*√3=4√3/3