（2014•梅州二模）已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平

Question

（2014•梅州二模）已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．
（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求证：AC⊥平面PAB．

Answer 1

（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）
且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）
又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC
∴PE²=PC²-CE²=3（3 分）
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）
可得PA²=PE²-AE²=2，即PA＝√(2)（5 分）
因此，正视图的面积为S＝(1)/(2)×2×√(2)＝√(2)（6 分）
（2）由（1）可知，四棱锥P-ABCD的高为PA，PA＝√(2)，（7 分）
底面积为S＝(AD+BC)/(2)•CD＝(1+2)/(2)×1＝(3)/(2)（8分）
∴四棱锥P-ABCD的体积为VP−ABCD＝(1)/(3)S•PA＝(1)/(3)×(3)/(2)×√(2)＝(√(2))/(2)（10 分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）
∵在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=2，在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²=2（12 分）
∴BC²=4=AA²+AC²，可得△BAC是直角三角形      （13 分）
∴AC⊥AB．
由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）