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记数列{an}的前n项和为Sn,若存在实数M>0,使得对任意的n∈N*,都有|Sn|<M,则称数列{an}为“和有界数列”.下列命题正确的是()A.若{an}是等差数列,且首项a1=0,则{an}是“和有界

题目详情

记数列{an}的前n项和为Sn,若存在实数M>0,使得对任意的n∈N*,都有|Sn|<M,则称数列{an}为“和有界数列”.下列命题正确的是(  )

A. 若{an}是等差数列,且首项a1=0,则{an}是“和有界数列”

B. 若{an}是等差数列,且公差d=0,则{an}是“和有界数列”

C. 若{an}是等比数列,且公比|q|<1,则{an}是“和有界数列”

D. 若{an}是等比数列,且{an}是“和有界数列”,则{an}的公比|q|<1

▼优质解答
答案和解析
对于A,若{an}是等差数列,且首项a1=0,当d>0时,Sn=
n(n-1)d
2
=
dn2
2
-
dn
2
,当n→+∞时,|Sn|→+∞,
则{an}不是“和有界数列”,故A错误;
对于B,若{an}是等差数列,且公差d=0,Sn=na1,当a1≠0时,当n→+∞时,|Sn|→+∞,
则{an}不是“和有界数列”,故B错误;
对于C,若{an}是等比数列,且公比|q|<1,Sn=
a1(1-qn)
1-q
=
a1
1-q
-
a1
1-q
qn,|Sn|=|
a1
1-q
-
a1
1-q
qn|<|
a1
1-q
|+|
a1
1-q
qn|<2|
a1
1-q
|.
则{an}是“和有界数列”,故C正确;
对于D,若{an}是等比数列,且{an}是“和有界数列”,则{an}的公比|q|<1或q=-1,故D错误.
故选:C.