设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|an﹣A|＜ɛ成立，就称数列{an}的极限为A，则四个无穷数列：①{（﹣1）n×2}

Question

设无穷数列{a_n}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|a_n﹣A|＜ɛ成立，就称数列{a_n}的极限为A，则四个无穷数列：

①{（﹣1）ⁿ×2}；

②{+++…+}；

③{1++++…+}；

④{1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ}，

其极限为2共有（　　）

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

Answer 1

D【考点】数列的极限．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．

【分析】分别求和，再求极限，即可得出结论．

【解答】①数列{（﹣1）ⁿ×2}是摆动数列，不存在极限；

②+++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），数列{a_n}的极限为；

③{1++++…+}的极限为=2；

④S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ…①，

2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹ …②，

∴①﹣②得﹣S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ﹣n•2ⁿ⁺¹

∴﹣S_n=2ⁿ⁺¹﹣2﹣n×2ⁿ⁺¹

∴S_n=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2，

∴数列{a_n}的极限不存在．

故选：D．

【点评】本题考查数列的极限，考查数列的求和，正确求和是关键．