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已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③x12+x22<a2+b2;④当a+b=ab时,方程有一根为1.则正确结论的序号是.(填上你认
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已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③x12+x22<a2+b2;④当a+b=ab时,方程有一根为1.则正确结论的序号是______.(填上你认为正确结论的所有序号)
▼优质解答
答案和解析
∵△=(a+b)2-4(ab-1)=(a-b)2+4>0,
∴方程有两个不相等的实数根,所以①正确;
∵x1x2=ab-1,
∴x1x2<ab,所以②正确;
∵x1+x2=a+b,x1x2=ab-1,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2(ab-1)=a2+b2+2,
∴x12+x22,>a2+b2,所以③错误;
∵a+b=ab,
∴x1+x2=x1x2+1,
∴x1x2-(x1+x2)+1=0,
∴(x1-1)(x2-1)=0,
∴x1=1,x2=1.所以④正确.
故答案为①②④.
∴方程有两个不相等的实数根,所以①正确;
∵x1x2=ab-1,
∴x1x2<ab,所以②正确;
∵x1+x2=a+b,x1x2=ab-1,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2(ab-1)=a2+b2+2,
∴x12+x22,>a2+b2,所以③错误;
∵a+b=ab,
∴x1+x2=x1x2+1,
∴x1x2-(x1+x2)+1=0,
∴(x1-1)(x2-1)=0,
∴x1=1,x2=1.所以④正确.
故答案为①②④.
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