（2013•泉州一模）如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2+y2=1相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若点A、B在抛物线C上，且FB＝2OA，求点A的坐标．

Question

（2013•泉州一模）如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x²+y²=1相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若点A、B在抛物线C上，且

FB

＝2

OA

，求点A的坐标．

Answer 1

满分（12分）．
（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），
其准线l的方程为y＝−(p)/(2)．…（2分）
∵准线l与圆x²+y²=1相切，
∴所以圆心（0，0）到直线l的距离d＝|0−(−(p)/(2))|＝1，解得p=2．…（4分）
故抛物线C的方程为：x²=4y．   …（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x

2 1

＝4y1

x

2 2

＝4y2

①…（6分）
∵F（0，1），

FB

＝(x2，y2−1)，

OA

＝(x1，y1)，

FB

＝2

OA

，
∴（x₂，y₂-1）=2（x₁，y₁）=（2x₁，2y₁），
即 

x2＝2x1

y2＝2y1+1

…②…（9分）
②代入①，得4

x

2 1

＝8y1+4，

x

2 1

＝2y1+1，
又

x

2 1

＝4y1，所以4y₁=2y₁+1，解得y1＝(1)/(2)，x1＝±√(2)，
即A(√(2)，(1)/(2))或(−√(2)，(1)/(2))．…（12分）