如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形ABCD的顶点C（3，3），顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在x轴上．点E是CD上一动点，将梯形OBCE沿OE翻折至OB′C′E，OB′交CD于H，过点O作OE的垂线

Question

如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形ABCD的顶点C（3，√(3)），顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在x轴上．点E是CD上一动点，将梯形OBCE沿OE翻折至OB′C′E，OB′交CD于H，过点O作OE的垂线交CD所在直线于点G，设E（t，√(3)）．

（1）直接写出OB′的长；
（2）①当HB′=1时，求出对应H点的坐标；②求证：HG=HO．
（3）如图2，作直线B′C′交直线OG于F．在运动变化过程中，点F的横坐标会随着t的变化而变化吗？如果变化，请用含t的式子表示；如果不变，求出点F的横坐标．

Answer 1

（1）∵C（3，√(3)），
∴OB=3，
由折叠可得OB′=OB=3；
（2）①当HB′=1时，OH=2，
设CD与y轴的交点为M，

分两种情况考虑：
（i）当H在y轴左侧时，利用勾股定理得：MH=1，
此时H（-1，0）；
（ii）当H在y轴右侧时，同理MH=1，
此时H（1，0），
综上，H（-1，0）或（1，0）；
②由折叠可得∠BOE=∠HEO，
∵CD∥AB，
∴∠BOE=∠HEO，
∴∠HEO=∠HOE，
∴HE=HO，
∵∠EOG=90°，
∴∠GOH+∠HOE=90°，∠OGE+∠HEO=90°，
∵∠HOE=∠HEO，
∴∠GOH=∠HGO，
∴HG=HO，
∵HE=HO，
∴HG=HE；
（3）在运动变化过程中，点F的横坐标不变，理由为：
过F作FN⊥AB于N，

∵CD∥AB，
∴∠HGO=∠GOA，
∵∠GOH=∠HGO，
∴∠GOA=∠GOH，
在△FON和△FB′O中，

∠GOA＝∠GOH

∠FNO＝∠FB′O

OF＝OF

，
∴△FON≌△FB′O（AAS），
∴ON=OB′=3，
则点F的横坐标保持不变，它的横坐标为3．