如图，⊙O的半径为3，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，

Question

如图，⊙O的半径为√(3)，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请求出点C的坐标；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

Answer 1

（1）

（1）当点A的坐标为（√(3)，0）时，可得等边三角形的边长=2-√(3)，
由等边三角形的性质可得C₁D=(2√(3)−3)/(2)，A₁D=(2−√(3))/(2)，
故可得点C₁的坐标为（(2+√(3))/(2)，(2√(3)−3)/(2)）；
同理：当点A的坐标为（-√(3)，0）时，点C₂的坐标为（(2−√(3))/(2)，(2√(3)+3)/(2)）；
（2）连接OA，

①当A点在x轴上方时，
∵直线AB与⊙O相切，
∴OA₁⊥AB，
∴∠OAB=90°，OB=2，OA₁=√(3)，
∴sin∠OBA₁=(√(3))/(2)，A₁B=BC₁=1，
∴∠OBA₁=60°，
∴∠CBx=60°，
∴C1E=(√(3))/(2)，BE=(1)/(2)，
∴点C的坐标（(5)/(2)，(√(3))/(2)）．
②当A点在x轴下方时，
∵∠OBA=60°，
∴C点在x轴上，
∴点C的坐标为（2−√(3)，0）
（3）过点A作AE⊥OB于点E，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x，
故S=(√(3))/(4)AB2=(√(3))/(4)(7−4x)=−√(3)x+(7√(3))/(4)，
其中−√(3)≤x≤√(3)，
当x=−√(3)时，S的最大值为3+(7√(3))/(4)，
当x=√(3)时，S的最小值为−3+(7√(3))/(4)．