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已知二次函数f（x）对任意实数x满足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．
题目详情
已知二次函数f（x）对任意实数x满足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．
▼优质解答
答案和解析
（1）设f（x）=ax2+bx+c
∵f（2+x）=f（2-x）
∴x=2是对称轴
故−
＝2f（0）=c=3f（2）=4a+2b+c=1
∴a＝
b＝−2
∴f(x)＝
x2−2x+3
（2）∵对称轴为x=2，且f（2）=1
∴f（0）=f（4）=3，为了使得f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，
∴2≤m≤4
∴m的取值范围为[2，4]．
∵f（2+x）=f（2-x）
∴x=2是对称轴
故−
| b |
| 2a |
∴a＝
| 1 |
| 2 |
∴f(x)＝
| 1 |
| 2 |
（2）∵对称轴为x=2，且f（2）=1
∴f（0）=f（4）=3，为了使得f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，
∴2≤m≤4
∴m的取值范围为[2，4]．
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