已知函数f（x）=ex+ax-a（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[-2，1]上的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x+ax-a（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e^x+a，
由函数f（x）在x=0处取得极值，
则f′（0）=1+a=0，解得a=-1，
即有f（x）=e^x-x+1，f′（x）=e^x-1，
当x<0时，有f′（x）<0，f（x）递减，
当x>0时，有f′（x）>0，f（x）递增．
则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，
又f（-2）=e^-2+3，f（1）=e，f（2）>f（1），
即有f（-2）为最大值e^-2+3；
（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为
e^x+ax-a=0无实数解，
由于x=1时，e+0=0显然不成立，即有a∈R且a≠0．
若x≠1，即有-a=(ex)/(x-1)，
令g（x）=(ex)/(x-1)，则g′（x）=(ex(x-2))/((x-1)2)，
当x>2时，g′（x）>0，g（x）递增，
当x<1和1<x<2时，g′（x）<0，g（x）递减．
即有x=2处g（x）取得极小值，为e²，
在x<1时，g（x）<0，
则有0<-a<e²，
解得-e²<a<0，
则实数a的取值范围为（-e²，0）．